Como salvar um vídeo do YouTube para o computador

Digamos que você achou no YouTube um vídeo super didático ou uma cena de um documentário e quer usar num trabalho da faculdade ou numa aula. Mas e agora? Como salvar esse vídeo?
O SaveVid é um site que faz isso para você: basta colar a URL do vídeo que você deseja baixar, e o site converte automaticamente para os formatos mais populares (como MP4), oferecendo links para download direto.